40 años atrás la prestigiosa publicación The Journal of Political Economy incluía un trabajo que se transformaría en un punto de inflexión en la administración de riesgos y la especulación con opciones financieras. El artículo titulado “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” fue el resultado de una extensa investigación que le valió a los autores un premio Nobel.
Este breve artículo propone un repaso por los conceptos elementales detrás del modelo de valuación propuesto por Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton.
¿Que son las opciones?
Las opciones son un tipo particular de derivado financiero. Estos instrumentos resultan fundamentalmente distintos a otros contratos derivados ya que otorgan a su tenedor el derecho – pero no la obligación – a hacer algo.
Esta particularidad, la de otorgar un derecho sin que se acompañe de la obligación de ejercerlo, hace de las opciones una variedad de derivado compleja de analizar y – lo que es aún más relevante – justipreciar.
Existen distintos tipos de opciones. Sin adentrarnos en mayores detalles que podrían abrumar al lector no iniciado en temas relacionados a las finanzas, podemos distinguir contratos de opciones que permiten a su tenedor elegir en un momento futuro del tiempo comprar o no un determinado activo a un precio dado (opciones de compra; o call, en la jerga financiera), y opciones de venta (puts, que ofrecen la alternativa de vender un determinado bien). Esto permite que las opciones sean utilizadas tanto como un vehículo para realizar inversiones, como para realizar coberturas de riesgos por la evolución de los precios de múltiples mercancías.
Como las opciones ofrecen un derecho y no una obligación, la adquisición de éste ha de tener un costo para el comprador de una opción. Esto constituye el precio de una opción, lo que se conoce como prima. En los mercados de derivados los operadores compran y venden opciones, formando precios como el resultante de la interacción de oferta y demanda. Sin embargo, conocer cual “debería” ser el precio de una opción no resulta trivial.
El precio de las opciones. Calcular el precio teórico de una opción es una tarea que puede abordarse desde un enfoque no muy diferente al aplicable a otros activos financieros. En base a datos que resultan conocidos se puede obtener un precio teórico que anule las posibilidades de que quienes participan en el mercado realicen operaciones que permitan obtener ganancias libres de riesgo sin costo (lo que en el léxico académico de las finanzas se conoce como “arbitraje”).
El modelo planteado por Black, Scholes y Merton supone la creación de una cartera que combina posiciones compradas y vendidas en un activo y opciones de compra (o venta) sobre ese mismo bien. El secreto pasa por combinar el tamaño de estas posiciones de modo que las ganancias y pérdidas que genera se cancelen hasta obtener un rendimiento libre de riesgo. Hasta aquí nada innovador.
Supongamos que las acciones de la empresa XYZ cotizan actualmente a razón de $1. Además, sabemos que mañana estas acciones pueden valer $3.- o $0,50. Si quisiéramos conocer cuál es el precio de una opción de compra sobre esa acción que nos ofrezca la posibilidad de adquirir ese papel mañana a $2.- deberíamos plantearnos una combinación que replique los resultados posibles.
Desde el punto de vista del titular de la opción, si la cotización de las acciones de XYZ sube a $3.-, la opción le reportará un beneficio de $1.- ya que podrá adquirir la acción a $2.- y venderla a $3. En caso que ocurra lo opuesto y las acciones bajen hasta 50 centavos, el comprador de la opción no hará uso de su derecho, por lo que no reportará ningún ingreso.
Si la misma situación se analiza desde la óptica del vendedor de la opción, una suba de la acción le reportaría una pérdida de $1, en tanto que la baja no implicaría sacrificio económico alguno.
¿Cuánto debería pagarse (o cobrarse) entonces por este derecho?
La respuesta a este interrogante es $ 0,20. Desarrollemos este planteo: el vendedor de la opción podría cobrar los $ 0,20 y además pedir prestados otros 20 centavos para comprar 0,4 acciones de XYZ, que valen en ese momento $1 cada una (supongamos que es posible comprar una fracción de la acción). Si al día siguiente las acciones de XYZ cotizan a $3, el valor de las 0,4 acciones será de $1,20. Esto es exactamente lo que necesita para pagar al comprador de la opción y devolver el préstamo.
Si el curso de los precios hubiera sido el contrario y las acciones valieran ahora $ 0,50, la posición de 0,4 acciones podría venderse obteniendo los $ 0,20 necesarios para cancelar la deuda.
Claro que en este esquema, en pos de la simplicidad, estamos ignorando el valor tiempo del dinero. La cartera deberá tener un rendimiento, que se asume como la tasa libre de riesgo.
Si se mantiene la posibilidad de construir una cartera que neutralice el las posibilidades de resultados de la operación, los vendedores de opciones ofrecerán estos contratos hasta que el rendimiento esperado se iguale a la tasa libre de riesgo.
El cálculo expuesto antes no es más que el resultado de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (la cantidad de acciones a comprar y el monto de dinero a pedir prestado), que permite resolver este problema en un mundo imaginario. Sin embargo, el mundo real ofrece otras dificultades.
La principal complicación radica que en realidad las acciones podrían tomar prácticamente cualquier valor, y no sólo dos alternativas posibles como asumimos antes. Esto implicaría la necesidad de ir modificando la cobertura de la venta de una opción en forma constante (comprando o vendiendo acciones y tomando o cancelando créditos) para que se mantenga el saldo neutro en los beneficios y pérdidas. Esto es justamente lo que Black y Scholes, en simultáneo con Merton, resolvieron por medio de una ecuación diferencial.
La historia de la fórmula.
El desarrollo que llevaron adelante Black, Scholes y Merton no es espontáneo. La historia detrás del modelo se remonta más de 70 años antes de la publicación del paper en 1973.
Si se procura poner una fecha de nacimiento a la Teoría Moderna de Valuación de Opciones, esta debería remontarse a la tesis sobre especulación planteada por el matemático francés Louis Bachelier en el año 1900. Este trabajo contenía, entre otras cosas, una fórmula de valuación de opciones que guarda similitudes con la galardonada síntesis de Black, Scholes y Merton.
Si bien las conclusiones de Bachelier no trascendieron del trabajo académico – en parte por algunos errores detectados en forma ulterior – dieron pie a investigaciones adicionales en el campo de la valuación de opciones (por parte de Paul Samuelson) y en procesos estocásticos, realizadas por Kiyoshi Ito. Ambas líneas de investigación influenciaron los trabajos que llevaron a derivar la fórmula premiada.
Fischer Black comenzó a trabajar en su fórmula de valuación de opciones casi sin saberlo. A fines de la década del ’60, el matemático – que se desempeñaba en el sector financiero y no en el ámbito académico – investigó profusamente la posibilidad de aplicar el modelo CAPM para la valuación de distintos activos, particularmente en instrumentos derivados de acciones cotizantes. El abordaje utilizado consistía en vincular el retorno esperado de los derivados al riesgo de la acción subyacente.
Hacia 1969, Black había logrado derivar una ecuación diferencial que vinculaba el precio de un warrant sobre una acción en función del tiempo al vencimiento y la cotización del activo subyacente. Si bien el modelo no encontraba aún su solución, aparecían algunos progresos importantes. Algunos de los factores presentes en la ecuación original resultaban cancelados en la derivación. El precio del warrant dependía del riesgo total de la acción (independientemente de que el mismo sea diversificable o no), sin que influya en esto el retorno esperado del activo.
En este punto, Fischer Black comenzó a trabajar en conjunto con un académico del MIT, Myron Scholes, especializado en valuación de activos. Rápidamente lograron progresos en la resolución del modelo planteado por Black anteriormente, aunque aún no se arribaba a la elegante fórmula de valuación de opciones que conocemos actualmente.
La participación de Robert Merton, introduciendo modelos matemáticos más complejos, llevó a la derivación final de la ecuación diferencial. No sólo eso, la denominación de la ecuación como “fórmula de Black-Scholes” surge de un documento de trabajo circulado por Merton en 1970. La fórmula que se convirtió luego en la piedra angular de la valuación de opciones había nacido.
Desde la finalización de los trabajos hasta la publicación de la investigación en el número 81 del Journal of Political Economy, los autores debieron trabajar arduamente en la defensa de su tesis. Sin embargo, la utilización del modelo ganó rápidamente la predilección de los operadores de opciones. El mundo de las finanzas había cambiado para siempre.
El profundo impacto que tuvo este desarrollo sobre la economía – que trascendió al trading de opciones para afectar conceptos aplicables a las finanzas corporativas, políticas de gestión de depósitos bancarios, seguros de salud, precios de servicios masivos, entre otras utilizaciones tanto en las finanzas como en la economía real – valió a Myron Scholes y Robert Merton el premio Nobel en 1997 (Black había fallecido anteriormente).
Críticas
La popularidad alcanzada por la fórmula de valuación de opciones de Black & Scholes estuvo acompañada también de duras críticas. Éstas provinieron tanto del ámbito académico como de los profesionales que hicieron y hacen uso de la ecuación.
Por un lado, el modelo depende de supuestos sumamente rígidos que lo hacen vulnerable a subestimar los riesgos asumidos por los operadores de derivados. Esta debilidad de los modelos fue experimentada en carne propia por Scholes y Merton en 1998, cuando el hedge fund que manejaban – Long Term Capital Management – experimentó fortísimas pérdidas y debió ser rescatado para evitar un colapso financiero de dimensiones globales. Si bien las mayores pérdidas de LTCM no fueron por operaciones basadas en el uso de la fórmula de Black-Scholes sino de operaciones de convergencia de rendimientos de bonos, la solidez de los modelos cuantitativos fue cuestionada.
Desde lo académico, las críticas apuntan más a la originalidad del desarrollo. Haug y Taleb señalan que el trabajo de Black, Scholes y Merton no hace más que agregar un argumento a una ecuación de valuación ya conocida. Una resolución económica a un planteo matemático que fue bien recibida por el stablishment de la época.
Conclusiones
Más allá de las críticas recibidas, la ecuación de Black-Scholes resultó un desarrollo revolucionario en el mundo de las finanzas. Desde su difusión en 1973, la fórmula de valuación que estos matemáticos y economistas norteamericanos desarrollaron es utilizada diariamente por traders, analistas y académicos.
Aun cuando algunos insistan en señalar la fórmula como responsable de algunas calamidades económicas, pasando por alto la responsabilidad del usuario, no puede negarse la importancia que esta ecuación diferencial tuvo para la economía, las finanzas y el desarrollo de los mercados de derivados ¡Felices 40 años, Black-Scholes!
Bibliografía:
Black, Fischer. How we came up with the option formula. Journal of Portfolio Management. Winter 1989.
Haug, Espen & Taleb, Nassim. Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula.
Hull, John. Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones. 6ta. Ed. Pearson-PrenticeHall
Jarrow, Robert. A Partial Differential Equation that Changed the World. Journal of Economic Perspectives – Vol. 13, No. 4 – Fall, 1999
Merton, Robert. Applications of Option-Pricing Theory: Twenty-Five Years Later. The American Economic Review, Vol. 88, Issue 3 (Jun. 1998).
Seco, Luis. La Fórmula de Black-Scholes, en Las matemáticas del siglo XX: una mirada en 101 artículos coord. por Antonio Martinón Cejas.
___________________________________________________________________________________________
El autor es Lic. en Administración y tiene un Posgrado en Finanzas. Es miembro del equipo de Investigación y Desarrollo de Mercados de la Bolsa de Comercio de Rosario y docente de Derivados Financieros en la UCEL – leandro.fisanotti@gmail.com
